Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{a-1}{2}$x²+ax+a（a∈R）的导数为f'（x），若对任意的x∈[2，3]都有f'（x）≤f（x），则a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{2}{3}，+∞}）$
• B． $[{1，\frac{5}{3}}]$
• C． $[{\frac{1}{3}，+∞}）$
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为$\frac{3-a}{2}$≤x+$\frac{1}{x}$，令g（x）=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{x}$，x∈[2，3]，求出函数的导数，得到g（x）的最小值，解关于a的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=x²+（a-1）x+a，
由f′（x）≤f（x），得x²+（a-1）x+a≤$\frac{1}{3}$x³+$\frac{a-1}{2}$x²+ax+a，
化简得-x≤$\frac{1}{3}$x³+$\frac{a-3}{2}$x²，
不等式两边同除以x²得：-$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{a-3}{2}$，
有$\frac{3-a}{2}$≤x+$\frac{1}{x}$，令g（x）=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{x}$，x∈[2，3]，
g′（x）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，g（x）在[2，3]递增，g（x）_min=g（2）=$\frac{7}{6}$，
故只需$\frac{3-a}{2}$≤$\frac{7}{6}$，解得：a≥$\frac{2}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．