Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$
（1）计算f（1）+f（0）的值；
（2）计算f（x）+f（1-x）的值；
（3）若关于x的不等式：f[2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$]＜$\frac{1}{2}$在区间[1，2]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式直接计算f（1）+f（0）的值．
（2）根据函数的解析式直接计算f（x）+f（1-x）的值．
（3）推导出f（x）在[1，2）上单调递增，从而得到2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）＜0，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$
∴f（1）+f（0）=$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$
=$\frac{2（2-\sqrt{2}）}{2}$+$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$
=2-$\sqrt{2}+\sqrt{2}-1$
=1．
（2）f（x）+f（1-x）
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}+\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$
=$\frac{2+\sqrt{2}（{2}^{x}+{2}^{1-x}）+2}{2+\sqrt{2}（{2}^{x}+{2}^{1-x}）+2}$=1．
（3）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$=$\frac{1}{1+\frac{\sqrt{2}}{{2}^{x}}}$，
∴f（x）在[1，2]上单调递增，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴f[${2}^{3x}-{2}^{-x}+m（{2}^{x}-{2}^{-x}）+\frac{1}{2}$]＜$\frac{1}{2}$=f（$\frac{1}{2}$），
∵f（x）在[1，2]上单调递增，
∴2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$$＜\frac{1}{2}$，
∴2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）＜0，
∴m＜-$\frac{{2}^{3x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=$\frac{-（{2}^{4x}-1）}{{2}^{2x}-1}$=-（2^2x+1），
当x=1时，-（2^2x+1）_max=-5．
∴m＜-5．
∴实数m的取值范围（-∞，-5）．

点评 本题主要考查函数值的计算，以及不等式恒成立问题，利用函数的单调性是解决本题的关键．