Question

13．设函数f（x）=|x-4|+|x-3|，f（x）的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）当a+2b=m（a，b∈R），求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式的性质，可得）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|，即可得到m=1；
（2）方法一、运用柯西不等式（cd+ef）²≤（c²+e²）（d²+f²），即可得到最小值；
方法二、运用a²+b²的几何意义为原点到点（a，b）的距离的平方，由点到直线的距离公式可得最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，
当（x-4）（x-3）≤0，即有3≤x≤4时，f（x）取得最小值1，
即m=1；
（2）方法一、运用柯西不等式（cd+ef）²≤（c²+e²）（d²+f²），
当且仅当cf=ed，不等式取得等号．
即有1=（a+2b）²≤（a²+b²）（1+4），
即为a²+b²≥$\frac{1}{5}$，
故当b=2a=$\frac{1}{5}$时，a²+b²的最小值为$\frac{1}{5}$；
方法二、a²+b²的几何意义为原点到点（a，b）的距离的平方，
由点到直线的距离公式可得最小值为d²=（$\frac{1}{\sqrt{1+4}}$）²=$\frac{1}{5}$，
即有a²+b²的最小值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值不等式的性质和柯西不等式和几何意义，考查运算能力，属于中档题．