Question

1．f（x）=3x²-6x-5，
（1）设g（x）=f（x）-2x²+mx，其中m∈R，求g（x）在[1，3]上的最大值．
（2）若对任意的a∈[-1，2]存在x∈[1，3]，使不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分析g（x）的图象和性质，分析对称轴与给定区间的关系，可得g（x）在[1，3]上的最大值．
（2）若对任意的a∈[-1，2]存在x∈[1，3]，使不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b成立，则对任意的a∈[-1，2]，函数y=2x²+2ax-5-a-b最大值不大于0，结合二次函数的图象和性质，可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=3x²-6x-5，
∴g（x）=f（x）-2x²+mx=x²+（m-6）x-5，
∵g（x）的图象是开口朝上，且以x=3-$\frac{m}{2}$为对称轴的抛物线，
故当3-$\frac{m}{2}$≥2，即m≤2时，g（x）在[1，3]上的最大值为g（3）=3m-14；
当3-$\frac{m}{2}$＜2，即m＞2时，g（x）在[1，3]上的最大值为g（1）=m-10；
（2）对任意的a∈[-1，2]，存在x∈[1，3]，使不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b成立，
即2x²+2ax-5-a-b≤0成立，
故对任意的a∈[-1，2]，函数y=2x²+2ax-5-a-b最大值不大于0，
由函数y=2x²+2ax-5-a-b的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，-$\frac{a}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故函数y=2x²+2ax-5-a-b在[1，3]上为增函数，
当x=3时，函数取最大值5a-b+13，
故5a-b+13≤0，
即b≥5a+13，a∈[-1，2]
故b≥23

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．