Question

4．在等差数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n=n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=$\frac{{S}_{n}+156}{{a}_{n}+1}$，求数列{b_n}中的最小项及取得最小项时n的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²，可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}+156}{{a}_{n}+1}$=$\frac{{n}^{2}+156}{2n}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{156}{n}）$，可得当n≤12时，数列{b_n}单调递减；当n≥13时，数列{b_n}单调递增．即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²，∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}+156}{{a}_{n}+1}$=$\frac{{n}^{2}+156}{2n}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{156}{n}）$，
当n≤12时，数列{b_n}单调递减；当n≥13时，数列{b_n}单调递增．
而b₁₂=$\frac{25}{2}$=b₁₃．
∴当n=12或13时，数列{b_n}取得最小项$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．