Question

若f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的周期为π且图象关于x=

2π

3

对称，则（　　）

• A、f（x）的图象过点（0，

  1

  2

  ）
• B、f（x）在[

  π

  12

  ，

  2π

  3

  ]上是单调递减函数
• C、将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象
• D、f（x）的一个对称中心是（

  5π

  12

  ，0）

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由函数的周期求出ω，由对称性求出φ，可得函数的解析式．再结合y=Asin（ωx+φ）的图象特征、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：由于f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的周期为π，
可得

2π

ω

=π，求得ω=2．
再根据函数的图象关于x=

2π

3

对称，可得 2×

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
即 φ=kπ-

5π

6

，结合，|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

6

，∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）．
当x=0时，f（x）=

3

2

，故排除A．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
可得函数的减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z，故B不正确．
将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位得到函数y=3sin[2（x-

π

6

+

π

6

]=3sin（2x-

π

6

）的图象，故C不正确．
当x=

5π

12

时，f（x）=0，故f（x）的一个对称中心是（

5π

12

，0），故D正确．
故选：D．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．