Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，数列{b_n}中，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{$\frac{1}{3}$b_n}的前n项和，求$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，则b_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$，则b_n+1-b_n=1，则数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，$\frac{1}{3}$b_n=$\frac{1}{3}$n，利用等差数列的前n项和公式可知S_n=$\frac{n（n+1）}{6}$，则$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{6}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂项法”即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，则b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1．n∈N ^*
∴{b _n}是首项为b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，公差为1的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，$\frac{1}{3}$b_n=$\frac{1}{3}$n，
则S_n=$\frac{1}{3}$（1+2+3+…+n）=$\frac{n（n+1）}{6}$，
于是$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{6}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=6[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=6（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{6n}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{6n}{n+1}$．

点评 本题考查数列通项公式的求法，考查等差数列前n项和，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．