Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…）．则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…），且a₁=1，可得a₂=$\frac{1}{2}{a}_{1}$=$\frac{1}{2}$．n≥2时，a_n=$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，相减可得：a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n．再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…），且a₁=1，
∴a₂=$\frac{1}{2}{a}_{1}$=$\frac{1}{2}$．
n≥2时，a_n=$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，相减可得：a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$S_n-$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}$，化为：a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n．
∴数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}$，
综上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．
故答案为：：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．