Question

4．已知某鱼塘仅养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从鱼塘中捕出这两种鱼各1000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回鱼塘，待完全混合后，再每次从鱼塘中随机地捕出1000条，记录下其中有记号的鱼的数目，然后立即放回鱼塘中，这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图
（I）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼的平均数；
（II）为了估计鱼塘中鱼的总重量，现按照（I）中的比例对100条鱼进行称重，所得称重鱼的重量介于[0，4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0，0.5），第二组[0.5，1），…，第九组[4，4.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

（1）若第二、三、四组鱼的条数成公差为7的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；
（2）通过抽样统计，初步估计鱼塘里共有20000条鱼，使在（1）的条件下估计该鱼塘中鱼重量的众数及鱼的总重量．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据茎叶图能求出有记号的鲤鱼和鲫鱼的平均数．
（Ⅱ）（1）根据题意，结合直方图确定频率，可将频率分布直方图补充完整．
（2）众数为2.25千克，中位数为2.02千克，平均数为2.02千克，可求鱼的总重．

解答 解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，
鲤鱼的平均数目为：$\frac{1}{10}$（60+76+72+72+88+88+80+80+92+92）=80，
鲫鱼的平均数目为：$\frac{1}{10}（16+17+19+20+20+20+21+21+23+23）$=20．
（Ⅱ）（1）∵第二、三、四组鱼的条数成公差为7的等差数列，
设第二、三、四组的条数分别为x，x+7，x+14，
∴0.08×0.5+$\frac{x}{100}+\frac{x+7}{100}+\frac{x+14}{100}$+0.5×0.5+0.28×0.5+0.12×0.5+0.08×0.5+0.04×0.5=1，
解得x=8，∴第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，
可将频率分布直方图补充完整．

②∵区间[2，2.5）对应的小矩形最高，∴众数为2.25千克，
中位数为：2+$\frac{0.5-0.04-0.08-0.15-0.22}{0.25}×0.5$=2.02千克，
平均数为：0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+4.25×0.02=2.02千克，
所以鱼的总重为2.02×20000=40400千克．

点评 本题主要是考查了统计中茎叶图以及直方图和概率的求解运用，属于中档题．