Question

15．已知f（x）=ax²-（a+2）x+ln x．
（1）a=1时，求y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上最小值为-2，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（2）先求导，再分类讨论，判断在[1，e]上的单调性，根据f（x）在区间[1，e]上最小值为-2，即可求出a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+ln x，
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$．
因为f′（1）=0，f（1）=-2，
所以曲线y=f（x）在点（1，-2）处的切线方程是y=-2．
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+ln x的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$
=$\frac{2ax{\;}^{2}-（a+2）x+1}{x}$，
令f′（x）=$\frac{2ax{\;}^{2}-（a+2）x+1}{x}$
=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$=0，所以x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{1}{a}$．
当0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
当1＜$\frac{1}{a}$＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值f （$\frac{1}{a}$）＜f（1）=-2，不合题意；
当$\frac{1}{a}$≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）在[1，e]上的最小值f（e）＜f（1）=-2，不合题意．
综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．  x²

点评 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及分类讨论的思想，属于中档题．