Question

20．假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：

使用年限x（年）	2	3	4	5	6
维修费用y（万元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？
$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=90；$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=112.3．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程；
（2）当自变量为12时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．

解答 解：（1）列表

i	1	2	3	4	5	合计
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42.0	112.3
xi2	4	9	16	25	36	90
$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5；$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=90；$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=112.3

$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，于是$\stackrel{∧}{a}$=5-1.23×4=0.08．
所以线性回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08．
（2）当x=12时，$\stackrel{∧}{y}$=1.23×12+0.08=14.84（万元），
即估计使用12年时，维修费用是14.84万元．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．