Question

4．已知函数f（x）=2|x+1|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=f（x）_min，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （1）对x的范围进行讨论，去掉绝对值符号解出不等式；
（2）化简f（x），判断单调性得出f（x）的最小值，利用基本不等式证明结论．

解答 解：（1）∵f（x）≤6，即2|x+1|+|x-2|≤6，
当x≤-1时，不等式为-2x-2+2-x≤6，解得x≥-2，∴-2≤x≤-1；
当-1＜x＜2时，不等式为2x+2+2-x≤6，解得x≤2，∴-1＜x＜2；
当x≥2时，不等式为2x+2+x-2≤6，解得x≤2，∴x=2．
综上，f（x）≤6的解为[-2，2]．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-1}\\{x+4，-1＜x＜2}\\{3x，x≥2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，-1]上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（-1）=3．
∴a+b+c=3．
∴$\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{{a}^{2}}{c}$+a+b+c≥2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{a}•a}$+2$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{b}•b}$+2$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{c}•c}$=2a+2b+2c=6，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{{a}^{2}}{c}$≥6-a-b-c=3．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．