Question

14．已知数列{a_n}满足：${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，a₁=1，则a₂₀₁₇=$\frac{2}{2017}$．

Answer 1

分析 关系式的倒数，得到新数列是等差数列，然后求解通项公式，求解即可．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=2，满足：${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，则 $\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+2}{2{a}_{n}}$⇒$\frac{2}{{a}_{n+1}}-\frac{2}{{a}_{n}}=1$
可得数列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴$\frac{2}{{a}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，即${a}_{2017}=\frac{2}{2017}$
∴${a}_{n}=\frac{2}{n}$．
故答案为：$\frac{2}{2017}$

点评 本题考查了数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法--取到数法，考查计算能力．