Question

13．已知函数f（x）=x²-2axlnx-2a+1（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）≥0对任意 在x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，化简f（x）=x²-4xlnx-3，求出f'（x），得到切线斜率，求出切点坐标，然后求解曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）不等式f（x）≥0等价于不等式$x-\frac{2a-1}{x}-2alnx≥0$，记$g（x）=x-\frac{2a-1}{x}-2alnx$，求出函数的导数，求出极值点，通过①当a≤1时，判断单调性，求出最小值，②当a＞1，求出函数的最小值，即可推出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x²-4xlnx-3，则f'（x）=2x-4（lnx+1）=2x-4-4lnx，故切线斜率k=f'（1）=-2，又因为切点为（1，-2），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=-2（x-1），即y=-2x．
（2）不等式f（x）≥0等价于不等式$x-\frac{2a-1}{x}-2alnx≥0$，
记$g（x）=x-\frac{2a-1}{x}-2alnx$，则$g'（x）=1+\frac{2a-1}{x^2}-\frac{2a}{x}=\frac{{{x^2}-2ax+2a-1}}{x^2}=\frac{{[{x-（{2a-1}）}]（{x-1}）}}{x^2}$，令g'（x）=0，得x=2a-1或x=1．
①当2a-1≤1，即a≤1时，g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）单调递增，
所以g（x）_min=g（1）=2-2a≥0，解得a≤1，此时a≤1．
②当2a-1＞1时，即a＞1，x∈（1，2a-1）时，g'（x）＜0，x∈（2a-1，+∞）时，g'（x）＞0，所以
函数g（x）在（1，2a-1）上单调递减，在（2a-1，+∞）上单调递增，于是g（x）_min=g（2a-1）＜g（1）=2-2a＜0，不合题意，舍去．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值最值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．