Question

5．函数$f（x）={log_2}（a-{2^x}）+x-2$，当$x∈[0，\frac{1}{2}]$时，f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． $（\sqrt{2}，4]$
• C． $（-∞，3\sqrt{2}]$
• D． $（\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由题意可得a-2^x≤2^2-x，从而可得2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$∈[3$\sqrt{2}$，5]，再由对数函数的定义知a＞$\sqrt{2}$，从而解得．

解答 解：∵$f（x）={log_2}（a-{2^x}）+x-2$≤0，
∴log₂（a-2^x）≤2-x，
∴a-2^x≤2^2-x，
即a≤2^x+2^2-x=2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$，
∵$x∈[0，\frac{1}{2}]$，∴2^x∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$∈[3$\sqrt{2}$，5]，
∵当$x∈[0，\frac{1}{2}]$时，f（x）≤0恒成立，
∴a≤3$\sqrt{2}$，
又∵a-2^x＞0，故a＞$\sqrt{2}$，
故实数a的取值范围是（$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]；
故选：D．

点评 本题考查了恒成立问题与最值问题的应用及对数的运算的应用．