Question

设点A，B分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，线段AB的中点M恒在圆x²+y²=8内，则点M的横坐标的取值范围为（　　）

• A、（

  2

  5

  ，2）
• B、（-2，-

  2

  5

  ）
• C、（2，

  14

  5

  ）
• D、（-

  14

  5

  ，-2）

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可得得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0，设M（x₀，y₀），则由中点的坐标公式可得3x₀-y₀-4=0，又点M在圆内，结合点与圆的位置关系即可求出点M的横坐标的取值范围．

解答： 解：设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A，B分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，
∴3x₁-y₁-5=0，①，3x₂-y₂-13=0，②
两式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0．
设线段AB的中点M（x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
∴3x₀-y₀-4=0，即y₀=3x₀-4．③
又∵点M恒在圆x²+y²=8内，∴x02+y02＜8，
再把③代入此式可得，∴x02+(3x0-4)2＜8，解得

2

5

＜x₀＜2，
故选：A．

点评：本题考查点与圆的位置关系，中点的坐标公式以及直线与圆位置关系等知识的综合应用，属于基础题．