Question

15．已知F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，2]
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 运用向量的中点表示，可得$\overrightarrow{PO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$），结合双曲线的范围，可得2c≥4a，再由离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：由OP为△PF₁F₂的边F₁F₂的中线，可得
$\overrightarrow{PO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$），
由在双曲线上存在点P满足2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，
可得4|$\overrightarrow{PO}$|≤2c，
由|$\overrightarrow{PO}$|≥a，可得2c≥4a，
即c≥2a，则e=$\frac{c}{a}$≥2．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用中点的向量表示，以及双曲线的范围，考查运算能力，属于中档题．