题目内容

18．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在此几何体中，给出下面四个结论：①异面直线A1D与AB1所成角为60°；②直线A1D与BC1垂直；③直线A1D与BD1平行；④三棱锥A-A1CD的体积为$\frac{1}{6}{a^3}$，其中正确的结论个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 根据题意，求出异面直线A1D与AB1所成的角，判断①正确；
判断异面直线A1D与BC1垂直，得出②正确；
求出异面直线A1D与BD1所成的角，判断③错误；
求出三棱锥A-A1CD的体积，判断④正确．

解答 解：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，
对于①，连接DC1，A1C1，则△A1C1D是正三角形，∠A1DC1是异面直线
A1D与AB1所成的角，为60°，①正确；
对于②，连接AD1，则∠AOA1是异面直线A1D与BC1所成的角，且AD1⊥A1D，
∴异面直线A1D与BC1垂直，②正确；
对于③，直线A1D与BD1是异面直线，异面直线所成的角是60°，∴③错误；
对于④，三棱锥A-A1CD的体积为V=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{2}$a•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$a=$\frac{1}{6}{a^3}$，∴④正确．
综上，正确的命题序号是①②④，共3个．
故选：C．

点评 本题考查了空间中的平行与异面直线所成的角的应用问题，是综合题．

练习册系列答案
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A．2B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{2}$D．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
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A．-2B．-$\frac{3}{2}$C．-$\frac{4}{3}$D．-1
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