Question

已知圆x²+y²=4，过点P（0，

3

）的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值是（　　）

• A、

  3

• B、2
• C、2

  3

• D、4

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：讨论l斜率不存在和存在的情况，当斜率存在时，设出方程求出圆心到直线的距离d，利用基本不等式求出S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

4-d2

•d≤

4-d2+d2

2

=2，即可得出结论．

解答： 解：当直线l不存在斜率时，S_△OAB=0，
当直线存在斜率时，设斜率为k，则
直线l的方程为y=kx+

3

，
即kx-y+

3

=0，
∴圆心到直线的距离d=

3

k2+1

，
|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
∵S_△OAB=

1

2

|AB|•d
=

4-d2

•d
=

(4-d2)d2

≤

4-d2+d2

2

=2，
∴△OAB面积的最大值是2．
故选B．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题．