Question

已知，其中e为自然对数的底数.

（I）若在是增函数，求实数的取值范围；

（II）当时，求函数上的最小值；

（III）求证：.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知在上恒成立.

又，则在上恒成立，

即在上恒成立. 而当时，，所以，

           于是实数的取值范围是.           ………………………………4分

           （Ⅱ）当时，则.

            当，即时，；

当，即时，.

            则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.   ……6分

                因为，所以，

                ①当，即时，在[]上单调递减，

                所以

                ②当，即时，在上单调递减，

在上单调递增，所以

③当时，在[]上单调递增，所以.

综上，当时，；

当时，；

当时，.      …………………………9分

          （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，，所以

                可得     ………………………………11分

                于是

               

               

               

                    ……………………………………14分

【思路点拨】（Ⅰ）由是增函数，转化为在上恒成立. 即在上恒成立. 最后得实数的取值范围（II）当时，求出.利用在求出单调区间，然后用分类讨论的思想方法解得

（III）由（Ⅱ）可知，当时，，所以

可得   ，然后利用放缩法证明不等式即可.