Question

13．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y），m≤|OP|≤M恒成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为有界曲线，且称M的最小值M₀为曲线C的外确界，m的最大值m₀为曲线C的内确界．
（1）写出曲线x+y=1（0＜x＜4）的外确界M₀与内确界m₀；
（2）曲线y²=4x与曲线（x-1）²+y²=4是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．

Answer 1

分析 （1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．
（2）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．
（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x²+y²转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．

解答 解．（1）曲线x+y=1（0＜x＜4）的外确界M₀=5与内确界${m_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）对于曲线y²=4x，设P（x，y）为曲线上任意一点$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}+4x}=\sqrt{{{（x+2）}^2}-4}（x≥0）$，
∴|OP|∈[0，+∞），
∴曲线y²=4x不是有界曲线．
对于曲线（x-1）²+y²=4$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}+4-{{（x-1）}^2}}=\sqrt{2x+3}（-1≤x≤3）$，
∴|OP|∈[1，3]，
∴曲线（x-1）²+y²=4是有界曲线，外确界M₀=3与内确界m₀=1．
（3）由已知得：$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}×\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=a$$\sqrt{{x^2}-2x+1+{y^2}}×\sqrt{{x^2}+2x+1+{y^2}}=\sqrt{{{（{x^2}+{y^2}+1）}^2}-4{x^2}}=a$，
∴（x²+y²+1）²-4x²=a²，
∴${y^2}=\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-（{x^2}+1）$，
∵y²≥0，
∴$\sqrt{4{x^2}+{a^2}}≥{x^2}+1$，
∴（x²+1）²≤4x²+a²，
∴（x²-1）²≤a²，
∴1-a≤x²≤a+1，
∵$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-1}$
若0＜a＜1，则$\sqrt{1-a}≤\sqrt{\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-1}≤\sqrt{a+1}$，外确界${M_0}=\sqrt{a+1}$，内确界${m_0}=\sqrt{1-a}$
若a≥1，0≤x²≤a+1，则$\sqrt{a-1}≤\sqrt{\sqrt{4{x^2}+{a^2}}-1}≤\sqrt{a+1}$，外确界${M_0}=\sqrt{a+1}$，内确界${m_0}=\sqrt{a-1}$
综合得：外确界${M_0}=\sqrt{a+1}$，内确界${m_0}=\sqrt{|a-1|}$．

点评 本题考查曲线的外确界与内确界的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，理解题意是关键，注意函数与方程思想的合理运用，属难题．