Question

4．命题p：f（x）=x³+ax²+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{a+2}$+$\frac{{y}^{2}}{a-2}$=1表示双曲线．
（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；
（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p：f（x）=x³+ax²+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x²+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；
（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若命题p：f（x）=x³+ax²+ax在R上的单调递增函数为真命题，
则f′（x）=3x²+2ax+a≥0恒成立，
故△=4a²-12a≤0，
解得：a∈[0，3]，
故当a=1时，命题p为真命题；
（2）若命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{a+2}$+$\frac{{y}^{2}}{a-2}$=1表示双曲线为真命题，
则（a+2）（a-2）＜0．
解得：a∈（-2，2），
若命题“p且q“为真命题，
则命题p，命题q均为真命题，
故a∈[0，2）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．