Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{{e^x}-a}}{x}（{x∈R}）$．
（1）若函数f（x）在x=1时取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，检验即可；
（2）问题转化为（x-1）e^x+a≥0在区间[2，4]上恒成立，记g（x）=（x-1）e^x+a，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}+a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在x=1时取极值，故f′（1）=0，解得：a=0，
a=0时，f′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
f（x）在x=1时取极值，
故a=0；
（2）∵函数f（x）在区间[2，4]上是单调递增函数，
∴f′（x）≥0在区间[2，4]上恒成立，
即（x-1）e^x+a≥0在区间[2，4]上恒成立，
记g（x）=（x-1）e^x+a，则g（x）_min≥0，
g′（x）=xe^x，∵x∈[2，4]，∴g′（x）＞0，
故g（x）在[2，4]递增，
故g（x）_min=g（2）=e²+a≥0，
解得：a≥-e²，
故实数a的范围是：a≥-e²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．