Question

【题目】已知函数， .

（1）求过点的的切线方程；

（2）当时，求函数在的最大值；

（3）证明：当时，不等式对任意均成立（其中为自然对数的底数， ）.

Answer 1

【答案】（1），（2）当时， 的最大值为；

当时， 的最大值为；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）设出切点坐标，表示出切线方程，代入点的坐标，求出切线方程即可；

（2）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出F（x）的最大值即可；

（3）问题可化为m＞（x﹣2）ex+lnx﹣x，设，要证m≥﹣3时m＞h（x）对任意均成立，只要证h（x）max＜﹣3，根据函数的单调性证明即可．

试题解析：

解：（1）设切点坐标为，则切线方程为，

将代入上式，得， ，

∴切线方程为；

（2）当时， ， ，

∴， ，

当时， ，当时， ，

∴在递增，在递减，

∴当时， 的最大值为；

当时， 的最大值为；

（3）可化为，

设， ，要证时对任意均成立，只要证，下证此结论成立.

∵，∴当时， ，

设，则，∴在递增，

又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线，

且， ，

∴使得，即， ，

当时， ；当时， ， ；

∴函数在递增，在递减，

∴ ，

∵在递增，∴，即，

∴当时，不等式对任意均成立.