Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上

（）求的方程．

（）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，

证明： 过定点．

Answer 1

【答案】（）．（）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意， ，结合，可得椭圆方程．

（2）设直线方程为，与椭圆方程联立消去并整理得， ，由韦达定理可知， ， ，结合可得，由题可得，故直线的方程为，可得直线过定点.

试题解析：（）根据题意得： ， ，

又，

∴， ， ，

故椭圆的方程为．

（）证明：当直线的斜率存在时，设直线方程为，

联立直线方程与椭圆方程得，消去，

化简得，

设， ，

则由韦达定理可知， ， ，

∵， ，且，

∴

，

化简得： ，

即，

∵直线不过，

∴，

则，

∴直线的方程为，

即，直线过定点，

当直线的斜率不存在时，设， ，

由斜率之和为，得，

解得，此时方程为，

此时直线过点，

综上所述，直线过定点．