Question

5．已知函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数f（x）化简成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的ω的值，
（2）当x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．可得函数f（x）取值范围．

解答 解：由题意：函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）
化简函数f（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∵最小正周期为π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，解得：ω=1．
∴ω的值为：1．
∴函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
当x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上时，2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
根据正弦函数的图象及性质：
可知：当2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为sin（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为sin（$\frac{π}{2}$）$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∴当x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上时，函数f（x）的取值范围是[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键