Question

16．已知：椭圆C过点A（1，$\frac{3}{2}$），两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE和AF关于x=1对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）直线AE和AF关于x=1对称，可得直线AE和AF的斜率互为相反数．设直线AE的斜率为k，则AF的斜率为-k，直线AE，AF的方程分别为：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），分别与椭圆方程联立，再利用根与系数的关系、斜率计算公式，即可证明．

解答 （1）解：由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得c=1，a=2，b²=3．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：∵直线AE和AF关于x=1对称，∴直线AE和AF的斜率互为相反数．
设直线AE的斜率为k，则AF的斜率为-k，
直线AE，AF的方程分别为：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4k²-12k-3=0，
∴1×x_E=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，解得x_E=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_E=$\frac{-4{k}^{2}-6k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
同理可得：x_F=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_F=$\frac{-4{k}^{2}+12k+9}{2（3+4{k}^{2}）}$．
∴k_EF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{-9k}{-24k}$=$\frac{3}{8}$为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．