Question

15．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到P∈平面ABC的是（　　）

• A． $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$
• B． $\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$
• C． $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
• D． $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$

Answer 1

分析 根据题意，由空间向量基本定理可得：P∈平面ABC的充要条件是存在实数α、β、γ，使得$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$成立，且α+β+γ=1，实数α、β、γ有且仅有1组；据此依次分析选项，验证α+β+γ=1是否成立，即可得答案．

解答 解：根据题意，A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，
若P∈平面ABC，则存在实数α、β、γ，使得$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$成立，且α+β+γ=1，实数α、β、γ有且仅有1组；
据此分析选项：
对于A：$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$中，$\frac{1}{3}$+（-$\frac{2}{3}$）+$\frac{1}{3}$=0≠1，不满足题意；
对于B：$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$中，$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$+（-1）≠1，满足题意；
对于C：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$中，1+1+1=3≠1，不满足题意；
对于D：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$中，1+（-1）+（-1）=-1≠1，不满足题意；
故选：B．

点评 本题考查空间向量的共线与共面的判断，关键是掌握空间向量共面的判断方法．