题目内容
【题目】甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得
分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为
和
，在一轮闯关中，甲的得分记为
.
（1）求的分布列；
（2）为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.
表示“甲的累积得分为
时，最终认为甲获胜”的概率，则
，其中
，
，
，令
.证明：点
的中点横坐标为
；
（3）在第（2）问的条件下求
，并尝试解释游戏规则的公平性.
【答案】（1）分布列见解析；（2）见解析；（3）
，试解释游戏规则的公平性见解析
【解析】
（1）由题意得：
，分别求出相应的概率，由此能求出
的分布列.
（2）由题意得
，
，
，推导出
，根据中点公式能证明点
的中点横坐标为
；
（3）由
，求出
，从而
，
，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的.
（1）
，
，
，
的分布列为：
|
| 0 | 1 |
|
|
|
|
（2）由题意得：
，
，
.
于是，有
，整理可得：，
根据中点公式有：
，命题得证.
（3）由（2）可知，
于是
又
，所以，，
.
表示最终认为甲获胜概率，由计算结果可以看出，
在甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时，
认为甲获胜的概率为
，此时得出甲获胜的概率非常小，
说明这种游戏规则是公平的.
【题目】某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
会员等级 | 消费金额 |
普通会员 | 2000 |
银卡会员 | 2700 |
金卡会员 | 3200 |
预计去年消费金额在
内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在
内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在
内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.
