题目内容
【题目】某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
会员等级 | 消费金额 |
普通会员 | 2000 |
银卡会员 | 2700 |
金卡会员 | 3200 |
预计去年消费金额在
内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在
内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在
内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.
【答案】（1）
（2）预计方案2投资较少.详见解析
【解析】
（1）由题意，随机变量
的可能值为“
”，得
，即可求解。
（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额
元，又由方案2：得到
的可能值为“
”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案。
（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有人，
则的可能值为“0，1，2”，
∴
.
（或者
.
（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：
，
，
，
∴按照方案1奖励的总金额为：
元，
方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则的可能值为“0，200，300”，
∵摸到红球的概率：
，∴
，
，
，
∴的分布列为
| 0 | 200 | 300 |
|
|
|
|
∴
元，
∴按照方案2奖励的总金额为：
元，
∵方案1奖励的总金额
多于方案1奖励的总金额
，
∴预计方案2投资较少.
