Question

【题目】如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）在中，由余弦定理可解得：

所以，所以是直角三角形，

又为等边三角形，所以，所以，即可证明平面；

（2）：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：因为，，，

所以，，

在中，，，，

由余弦定理可得：

解得：

所以，所以是直角三角形，

又为的中点，所以

又，所以为等边三角形，

所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.

所以，，.

设为平面的法向量，则，即

设，则，，即平面的一个法向量为，

所以

所以直线与平面所成角的正弦值为.