Question

【题目】已知函数

（1）讨论的极值；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；（Ⅱ）

【解析】

【试题分析】（1）先对函数，求导，再分和两种情形讨论导函数值（）的符号，进而判定函数单调区间，求出函数的极值；（2）先将原不等式等价转化为，进而构造函数（），将问题转化为求出.然后借助题设条件先对函数（）求导，再对实数分类运用导数的知识求出=0，进而确定所求实数的取值范围。

解：（Ⅰ）依题意（），

①当时，，在上单调递增，无极值；

②当时，，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递增；

所以，无极小值.

综上可知，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值.

（Ⅱ）原不等式可化为 ，

记（），只需.

可得.

（1）当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去.

（2）当时，，

①当时，因为，所以，所以，

所以在上单调递减.

故当时，，符合题意.

②当时，记（），

所以，在上单调递减.

又，，

所以存在唯一，使得.

当时，，

从而，即在上单调递增，

所以当时，，不符合要求，舍去.

综上可得，.