Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调区间及极值；

（2）若函数在上有唯一零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的定义域以及导数，利用导数求出函数的单调区间，并由单调性得出函数的极值；

（2）利用参变量分离法得出关于的方程在上有唯一解，构造函数，得出，构造函数，求出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数的最小值转化即可。

（1）的定义域为，∵，

当时，，为减函数；

当时，，为增函数，

∴有极小值，无极大值，

故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；

（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，

∴有唯一解，令，则

令，则，

当时，，故函数为增函数，

又，，

∴在上存在唯一零点，则，且，

当时，，

当时，，∴在上有最小值.ly，∴.