题目内容
如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于 ．
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：过B作BD∥AC，则BD=AC，ADBC为矩形，∠PBD（或其补角）即为异面直线PB与AC所成角，由此能求出异面直线PB与AC所成的角的余弦值．
解答：
解：过B作BD∥AC，则BD=AC，∴ADBC为矩形，
∴∠PBD（或其补角）即为异面直线PB与AC所成角．
∵PA=AC=BC=a，∴AD=a，BD=a，
∵PA⊥平面ABC，∴PD=
=
a，
又∵PA⊥DB，DB⊥AD，∴DB⊥平面PAD，∴BD⊥PD，
∴PB=
=
a，
在Rt△PDB中，cos∠PBD=
=
=
．
∴异面直线PB与AC所成的角的余弦值等于
．
故答案为：
．
∴∠PBD（或其补角）即为异面直线PB与AC所成角．
∵PA=AC=BC=a，∴AD=a，BD=a，
∵PA⊥平面ABC，∴PD=
| PA2+AD2 |
| 2 |
又∵PA⊥DB，DB⊥AD，∴DB⊥平面PAD，∴BD⊥PD，
∴PB=
| PD2+BD2 |
| 3 |
在Rt△PDB中，cos∠PBD=
| BD |
| PB |
| a | ||
|
| ||
| 3 |
∴异面直线PB与AC所成的角的余弦值等于
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
点评：本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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