Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²和g（x）=2x+2m．若F（x）=f（g（x））-g（f（x））的最小值为

1

4

，则m=

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题

分析：根据已知分别求出f（g（x））和g（f（x）），然后根据F（x）=f（g（x））-g（f（x））的最小值为

1

4

，经计算可求出m的值．

解答： 解：
∵定义在R上的函数f（x）=x²和g（x）=2x+2m．
则f（g（x））=（2x+2m）² ；g（f（x））=2x²+2m；
∴F（x）=f（g（x））-g（f（x））=4x²+4m²+8mx-2x²-2m=2x²+8mx+4m²-2m．
又∵F（x）=f（g（x））-g（f（x））的最小值为

1

4

．
故

4×2×(4m2-2m)-(8m)2

4×2

=

1

4

．化简可得16m²+8m+1=0．由求根公式可得m=-

1

4

．
故答案为：-

1

4

．

点评：本题考查了函数的最值、几何意义和一元二次方程的求解．属于中档题．