Question

3．椭圆C的中心为原点，焦点在y轴上，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆上的点到焦点的最短距离为$\sqrt{2}-1$，则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．

Answer 1

分析 根据题意建立关于a、c的方程组，解出a=$\sqrt{2}$，c=1，从而得到b²=a²-c²=1，可得椭圆的方程．

解答 解：∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆上的点到焦点的最短距离为$\sqrt{2}-1$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=a²-c²=1，
由此可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
故答案为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．

点评 本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的方程，着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．