Question

5．设F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦点，过F₁且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．
（Ⅰ）求△AF₁F₂的周长；
（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F₂A，AB，F₂B与直线x=-$\frac{1}{2}$分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）△AF₁F₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|；
（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k（x+1）（k≠0），因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|y_P|•|y_R|=|y_Q|²，联立y=k（x+1）与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=2$\sqrt{2}$，焦距2c=2．
又由椭圆的定义得|AF₁|+|AF₂|=2a
所以△AF₁F₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$+2
（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k（x+1）（k≠0）
于是直线l与直线x=-$\frac{1}{2}$交点Q的纵坐标为y_Q=$\frac{k}{2}$
设 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），显然x₁，x₂≠1，
所以直线F₂A的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1）
故直线F₂A与直线x=-$\frac{1}{2}$交点P的纵坐标为y_P=$\frac{-3{y}_{1}}{2（{x}_{1}-1）}$
同理，点R的纵坐标为y_R=$\frac{-3{y}_{2}}{2（{x}_{2}-1）}$
因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以|y_P|•|y_R|=|y_Q|²
即|$\frac{-3{y}_{1}}{2（{x}_{1}-1）}$×$\frac{-3{y}_{2}}{2（{x}_{2}-1）}$|=$\frac{{k}^{2}}{4}$
整理得9|x₁x₂+（x₁+x₂）+1|=|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|．（*）
联立y=k（x+1）与椭圆方程，消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
所以x₁+x₂=$\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$
代入（*）化简得|8k²-1|=9
解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$
经检验，直线l的方程为y═±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1）．

点评 本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．