Question

已知⊙C经过A（3，2），B（1，2）两点，且圆心在直线y=2x上．
（1）求⊙C的方程；
（2）若直线经过点B（1，2），且与⊙C相切，求直线l的方程；
（3）已知直线l′：kx-y-3k+3=0，求证：不论k取什么值，直线l′和⊙C总相交．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设圆C的圆心坐标为C（a，2a），再由圆C经过A（3，2）、B（1，2）两点，可得|CA|²=|CB|²，即 （a-3）²+（2a-2）²=（a-1）²+（2a-2）²．求得a的值，即可求得圆心坐标和半径，从而求得圆C的方程．
（2）用点斜式设出直线l的方程为y-2=k（x-1），根据圆心（2，4）到直线l的距离等于半径，即

|2k-4+2-k|

k2+1

=

5

，解得k的值，可得直线l的方程．
（3）由于直线l′经过定点H（3，3），而点H在圆的内部，可得直线l′和⊙C总相交．

解答： 解：（1）由于圆心在直线y=2x上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，2a）． 再由圆C经过A（3，2）、B（1，2）两点，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-3）²+（2a-2）²=（a-1）²+（2a-2）²．
解得 a=2，故圆心C（2，4），半径r=

(a-3)2+(2a-2)2

=

5

，故圆C的方程为 （x-2）²+（y-4）²=5．
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
由圆的切线性质可得圆心（2，4）到直线l的距离等于半径，即

|2k-4+2-k|

k2+1

=

5

，解得k=-

1

2

，
故直线l的方程为 x+2y-5=0．
（3）由于直线l′：kx-y-3k+3=0 即 k（x-3）+（-y+3）=0，经过定点H（3，3），
而点H在圆的内部，故直线l′和⊙C总相交．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，以及直线经过定点问题，属于基础题．