Question

1．已知函数f（x）=3x²-2tx-1，x∈[-1，1]，t∈R．
（Ⅰ）若t∈[0，3]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）求证：|f（x）|≤max{f（-1），f（1）}．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过t∈[0，3]，得到x=$\frac{t}{3}$∈[0，1]，利用二次函数的对称轴求解函数的值域．
（Ⅱ）证明：设x₀=$\frac{t}{3}$为函数的对称轴，求出|f（x₀）|=$\frac{3+{t}^{2}}{3}$，f（1）=2-2t，f（-1）=2+2t，原命题等价于：|f（x）|_max≤max{f（-1），f（1）}．（1）当-1≤x₀≤1，求出|f（x）|_max=max{|f（x₀）|，|f（-1）|，|f（1）|}．（i）当-3≤t≤0时，（ii）当0＜t≤3时，推出结果．（2）当x₀＜-1，推出结果．（3）当x₀＞1推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）t∈[0，3]，x=$\frac{t}{3}$∈[0，1]，当x=$\frac{t}{3}$时，函数f（x）=3x²-2tx-1，有最小值f（x）_min=$-\frac{{t}^{2}}{3}-1$．
x=-1时，f（x）_max=2+2t．
函数的值域为[$-\frac{{t}^{2}}{3}-1，2+2t$]．
（Ⅱ）证明：设x₀=$\frac{t}{3}$为函数的对称轴，此时|f（x₀）|=$\frac{3+{t}^{2}}{3}$，f（1）=2-2t，f（-1）=2+2t，
原命题等价于：|f（x）|_max≤max{f（-1），f（1）}．
（1）当-1≤x₀≤1即-3≤t≤3，此时|f（x）|_max=max{|f（x₀）|，|f（-1）|，|f（1）|}．
（i）当-3≤t≤0时，此时|f（1）|=f（1），因为f（1）-f（-1）=-4t≥0，所以max{f（-1），f（1）}=f（1）．
又|f（1）|²-|f（-1）|²=-8t≥0，所以|f（1）|≥|f（-1）|．
|f（x₀）|=$\frac{3+{t}^{2}}{3}≤\left|f（1）\right|=f（1）$?t²+6t-3≤0．因为-3≤t≤0，不等式t²+6t-3≤0恒成立，故有|f（x）|_max=max{|f（x₀）|，|f（-1）|，|f（1）|}=f（1）=max{f（-1），f（1）}．
（ii）当0＜t≤3时，此时|f（-1）|=f（-1），因为f（1）-f（-1）=-4t＜0，所以max{f（-1），f（1）}=f（-1）．
又|f（1）|²-|f（-1）|²=-8t＜0，所以|f（1）|＜|f（-1）|．
|f（x₀）|=|f（-1）|=f（-1）?t²-6t-3≤0．因为当0＜t≤3，不等式t²-6t-3≤0恒成立，故有|f（x）|_max=max{|f（x₀）|，|f（-1）|，|f（1）|}=f（-1）=max{f（-1），f（1）}．
（2）当x₀＜-1即t＜-3，于是有|f（x）|_max=max{|f（-1）|，|f（1）|}=max{|2+2t|，|2-2t|}=2-2t=f（1）=max{f（-1），f（1）}，
（3）当x₀＞1即t＞3，于是有|f（x）|_max=max{|f（-1）|，|f（1）|}=max{|2+2t|，|2-2t|}=2-2t=f（-1）=max{f（-1），f（1）}，
结合（1）（2）（3）有：-1≤x≤1，|f（x）|≤max{f（-1），f（1）}．

点评 本题考查函数恒成立，函数的最值的应用，才分析问题解决问题的能力．