Question

11．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$，直线l：x-y+4=0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x-y+2a=0．
（1）求实数a的值；
（2）求A²．

Answer 1

分析 （1）设直线l上一点M（x₀，y₀）在矩阵A对应的变换作用下变为l′上点M（x，y），通过$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，用x₀、y₀表示x、y并代入直线l′方程，利用点M在直线l上可得a的值；
（2）由a=2直接计算即可．

解答 解：（1）设直线l上一点M（x₀，y₀）在矩阵A对应的变换作用下变为l′上点M（x，y），
则$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a{x}_{0}+{y}_{0}}\\{{x}_{0}+a{y}_{0}}\end{array}]$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=a{x}_{0}+{y}_{0}}\\{y={x}_{0}+a{y}_{0}}\end{array}\right.$，
代入l′方程得（ax₀+y₀）-（x₀+ay₀）+2a=0，
即（a-1）x₀-（a-1）y₀+2a=0．
∵（x₀，y₀）满足x₀-y₀+4=0，
∴$\frac{2a}{a-1}$=4，解得a=2；
（2）由A=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}]$，
得A²=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{5}&{4}\\{4}&{5}\end{array}]$．

点评 本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．