Question

双曲线x²-

y2

b2

=1的两焦点分别为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若△PF₁F₂的面积为3，则点P到x轴的距离为（　　）

• A、3
• B、2
• C、

  3

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，进而在RT△PF₁F₂中结合双曲线的定义和△PF₁F₂的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c，利用三角形的△PF₁F₂的面积为3，求出点P到x轴的距离．

解答： 解：设以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根据曲线的定义得：F₁P-F₂P=2，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4，
 从而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4，
∴F₁P×F₂P=2b²，
又△PF₁F₂的面积等于3，
即

1

2

F₁P×F₂P=3，
∴b²=3，
∴b=

3

，
∴c=2，
设点P到x轴的距离为d，则

1

2

×4d=3
∴d=

3

2

．
故选：C．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．