Question

（本小题满分14分）

已知，其中是自然常数，

（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；

（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;

（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ），  …… ……1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增  ……… ……3分

 ∴的极小值为 ……4分

（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ ，……5分

令，，………… ……6分

当时，，在上单调递增…… ……7分

∴  ∴在（1）的条件下，………………………………………………………8分

（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3， ………………………10分

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，

此时无最小值.     ②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.  ……12分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.  ……14分