Question

16．已知过抛物线G：y²=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M，N两点（M点在x轴上方），满足$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$，|MN|=$\frac{16}{3}$，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（　　）

• A． （x-$\frac{1}{3}$）²+（y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16}{3}$
• B． （x-$\frac{1}{3}$）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16}{3}$
• C． （x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16
• D． （x-3）²+（y+2$\sqrt{3}$）²=16

Answer 1

分析 确定直线l的斜率为$\sqrt{3}$，可得方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），与抛物线方程联立可得3x²-5px+$\frac{3}{4}{p}^{2}$=0，利用|MN|=$\frac{16}{3}$，求出p，可得M的坐标，即可求出以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程．

解答 解：如图，过点N作NE⊥MM′，由抛物线的定义，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．
∵$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$，∴|MM′|=3|NN′|，
∴|ME|=2|NN′|，
∵|MN|=4|NN′|，
∴|MN|=2|ME|，
∴得∠EMF=$\frac{π}{3}$，所以直线l的斜率为$\sqrt{3}$
其方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
与抛物线方程联立可得3x²-5px+$\frac{3}{4}{p}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
∴|MN|=$\frac{8}{3}$p=$\frac{16}{3}$，
∴p=2，
∴M（3，2$\sqrt{3}$），r=4，
∴圆的标准方程为（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16．
故选：C．

点评 本题主要考查以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程，考查抛物线定义以及抛物线的性质，属于中档题．