Question

1．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）左焦点F的弦AB⊥x轴，E为双曲线的右顶点，若△ABE为直角三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．

解答 解：∵△ABE是直角三角形，
∴∠AEB=90°
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF=45°，
∴|AF|=|EF|，
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）
∴|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|EF|=a+c
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=a+c，即c²-ac-2a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，
∴e²-e-2=0，解得：e=-1，或e=2，
∵e＞1，
∴e=2
故选：A．

点评 本题给出双曲线离心率的离心率公式．考查双曲线的标准方程与简单几何性质、直角三角形的性质等知识，属于中档题．