Question

已知抛物线C：，点A、B在抛物线C上.

（1）若直线AB过点M（2p，0），且=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；
（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为，且，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）过定点

试题分析：（1）当直线斜率不存在时方程为，与的交点分别为M，N，弦长。此时中，，边的中线长为,所以是直角三角形，过三点的圆的圆心为边的中点，半径为，则可得此圆的标准方程。（2）设点，为了省去对斜率存在与否的讨论可设直线AB的方程为：。将直线与抛物线方程联立，消去整理为关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。根据用正切的两角和公式展开可得关于两点坐标间的关系。根据两关系式可得与间的关系，故此可判断直线是否过定点。
试题解析：（1）直线与抛物线的两个交点坐标分别是：M，N，弦长，故三角形ABO是，所以过A，B，O三点的圆方程是：
（2）解：设点，直线AB的方程为：，它与抛物线相交，由方程组消去x可得，故，，
这样，tan
即1=，所以，所以直线AB的方程可以写成为：，即，所以直线AB过定点.