Question

已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左右焦点，过右焦点F₂的直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为

1

4

，则△ABF₁的周长等于

 

，斜率k=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆方程求出a的值，由椭圆的定义和结论求出△ABF₁的周长；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点M（x，y），由题意和斜率公式可得

y

x

=

1

4

，利用点差法和中点坐标公式、斜率公式，求出直线l的斜率．

解答： 解：（1）由椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1得，a=2，
因为直线l：y=kx+m过右焦点F₂，且与椭圆C相交于A，B两点，
所以△ABF₁的周长为4a=8；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点M（x，y），
由直线OM（O为原点）的斜率为

1

4

得，

y

x

=

1

4

，
由题意得，

x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1

，两式相减得，

1

4

(x12-x22)+

1

3

(y12-y22)=0，
3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
则k=

y1-y2

x1-x2

=-

3(x1+x2)

4(y1+y2)

=-

3×2x

4×4y

=-

3

4

×

x

y

=-

3

4

×4=-3，
故答案为：8；-3．

点评：本题考查椭圆的定义和简单几何性质，斜率公式，以及点差法的应用，其中点差法是常考的方法之一．