Question

设P₀是△ABC的AB边上一定点，且

AP0

=3

P0B

，P是△ABC的AB边所在直线上任意一动点，若

P0B

•

P0C

≤

PB

•

PC

恒成立，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出

P0B

，

PC

，

P0C

，

PB

然后由

P0B

•

P0C

≤

PB

•

PC

结合向量的数量积的 坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断

解答： 解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），
（-2＜x＜2），则BP₀=1，A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0），

∴

P0B

=（1，0），

PB

=（2-x，0），

PC

=（a-x，b），

P0C

=（a-1，b），
∵恒有

P0B

•

P0C

≤

PB

•

PC

，
∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立，
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立，
令f（x）=x²-（a+2）x+a+1，
当

a+2

2

＜-2，必有f（-2）≥0，无解；
当

a+2

2

＞2，必有f（2）≥0，无解；
当-2≤

a+2

2

≤2，必有△=（a+2）²-4（a+1）≤0，
即△=a²≤0，
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上，
∴AC=BC，
故△ABC为等腰三角形．

点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力，属于中档题．