Question

18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（I）求cosC的值；
（II）若acosB+bcosA=2，且S_△ABC=9$\sqrt{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式可得cosC=2cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{3}$；
（2）由题意和余弦定理可得c=2，再由余弦定理和三角形的面积公式可得ab的方程组，整体解得a+b可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosC=2cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{3}$；
（2）∵acosB+bcosA=2，
∴a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2，
整理可得c=2，
∴由余弦定理可得4=a²+b²-2ab×$\frac{1}{3}$，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=9$\sqrt{2}$，
联立两式可得a+b=2$\sqrt{19}$，
∴△ABC的周长为2$\sqrt{19}$+2

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．