题目内容
17．已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量$\overrightarrow{x}$=（1，bn），$\overrightarrow{y}$=（an-1，Sn），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；
（2）若bn=$\frac{n}{2}$，a2=0．
①证明：数列{an}为等差数列；
②设数列{cn}满足cn=$\frac{{{a_{n+3}}}}{{{a_{n+2}}}}$，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用两个向量平行的坐标关系得到Sn=（an-1）bn，进一步对n取值，得到数列{an}是等差数列；
（2）①由${b_n}=\frac{n}{2}$，则2Sn=nan-n③，又2Sn+1=（ n+1）an+1-（n+1）④，两式相减即可得到数列{an}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{an}是首项为-1，公差为1的等差数列．
②由①得到数列{cn}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值．
解答 解：（1）因为$\overrightarrow{x}$=（1，bn），$\overrightarrow{y}$=（an-1，Sn），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
得Sn=（an-1）bn，当bn=2，则Sn=2an-2 ①，
当n=1时，S1=2a1-2，即a1=2，…（1分）
又Sn+1=2an+1-2 ②，
②-①得Sn+1-Sn=2an+1-2an，
即an+1=2an，又a1=2，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，…（3分）
所以an=2n．…（4分）
（2）①证明：因为${b_n}=\frac{n}{2}$，则2Sn=nan-n③，
当n=1时，2S1=a1-1，即a1=-1，
又2Sn+1=（ n+1）an+1-（n+1）④，
④-③得
2Sn+1-2Sn=（n+1）an+1-nan-1，…（6分）
即（n-1）an+1-nan-1=0 ⑤，
又nan+2-（n+1）an+1-1=0⑥
⑥-⑤得，nan+2-2nan+1+nan=0，
即an+2+an=2an+1，所以数列{an}是等差数列．…（8分）
②又a1=-1，a2=0，
所以数列{an}是首项为-1，公差为1的等差数列．
an=-1+（n-1）×1=n-2，所以${c_n}=\frac{n+1}{n}$，…（10分）
假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比数列，即$c_2^2={c_l}{c_m}$，
可得$\frac{9}{4}=\frac{l+1}{l}•\frac{m+1}{m}$，…（12分）
整理得5lm-4l=4m+4即$l=\frac{4m+4}{5m-4}$，由$\frac{4m+4}{5m-4}≥1$，得1≤m≤8，…（14分）
一一代入检验$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ l=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ l=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=3\\ l=\frac{16}{11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=4\\ l=\frac{5}{4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=5\\ l=\frac{8}{7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=6\\ l=\frac{14}{13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=7\\ l=\frac{32}{31}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=8\\ l=1\end{array}\right.$
由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．…（16分）
点评 本题考查了由数列的前n项和求通项公式以及等差数列通项公式的运用；关键是正确求出{an}通项公式．
导学教程高中新课标系列答案
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．| A． | 3π | B． | 9π | C． | $\frac{9π}{2}$ | D． | $\frac{7π}{2}$ |