Question

5．某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，他们的竞赛成绩相互独立．
（1）求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；
（2）记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）记“甲成绩为优秀”为事件A，“乙成绩优秀”为事件B，“丙成绩优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E，由事件A、B、C是相互独立事件，事件ABC与事件E是对立事件，能求出在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率．
（2）ξ的所有可能取值为15，20，25，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）记“甲成绩为优秀”为事件A，“乙成绩优秀”为事件B，“丙成绩优秀”为事件C，
“甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E，
∵事件A、B、C是相互独立事件，事件ABC与事件E是对立事件，
∴P（E）=1-P（$\overline{ABC}$）=1-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{9}$．
（2）ξ的所有可能取值为15，20，25，30，
P（ξ=15）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=20）=P（A$\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（ξ=30）=P（ABC）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=25）=1-$\frac{1}{9}-\frac{7}{18}-\frac{1}{9}$=$\frac{7}{18}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	15	20	25	30
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{1}{9}$

Eξ=$15×\frac{1}{9}+20×\frac{7}{18}+25×\frac{7}{18}+30×\frac{1}{9}$=$\frac{45}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．